L'astrophysique au collégial - Martin Aubé et François Gaudreau 2012


<Page précédente<>Page suivante>^Table des matières^<<Chapitre précédant<<>>Chapitre suivant>>

Notation, unités et ordres de grandeur

1.  La notation en puissances

La physique décrit un large spectre d'énergie et de taille. L'interaction nucléaire faible qui lie les quarks et les leptons a une portée de l'ordre de 0,00000000000000001 m alors que les amas de galaxies sont liés par la gravité à des distances de l'ordre de 1000000000000000000000000 m. La manipulation d'une si grande variété de tailles nécessite l'usage d'un outil de notation plus compact. Pour y arriver nous faisons appel aux puissances de 10 ou si vous préférez à la notation scientifique. Selon cette notation, nous ramenons tout nombre à un produit d'un entier (E) avec un certain nombre de décimales (D) significatives par une puissance de 10.

E,DD \times 10^N

On ne conserve généralement qu'un chiffre pour exprimer les entiers et le nombre de décimales sera dicté par la niveau de confiance que nous associons à la valeur. En d'autres termes le nombre de décimales sera directement lié à l'incertitude sur la valeur.

En notation scientifique, les dimensions extrêmes présentées plus haut s'exprimeraient ainsi:

1,00 \times 10^{-17} m et 1,00 \times 10^{25} m

Le nombre de décimales ont été ici fixées arbitrairement

2.  Les chiffres significatifs

Le nombre de chiffres significatifs est défini comme le nombre total de chiffres, à l'exception des zéros qui se trouvent à gauche du premier chiffre non nul. Dans les exemple ci-dessus il y a 3 chiffres significatifs.

Il est d'usage que pour exprimer une incertitude, seulement un chiffre significatif soit retenu. Cette convention est cohérente dans le mesure ou il serait difficile de justifier d'exprimer avec plusieurs chiffres significatifs une grandeur qui par sa nature même est incertaine.

Exemple:


Si nous appliquons cette convention au cas présenté dans la section précédentes il faudrait lire:

\Delta v_{moy} = 0,2

ou si vous préférez

\Delta v_{moy} = 2 \times 10^{-1}

et non

\Delta v_{moy} = 0,2005

La puissance de dix de l'incertitude exprimée en notation scientifique définira le nombre de chiffres significatifs à utiliser pour exprimer la valeur. Dans l'exemple ci-haut la plus petite puissance de dix à retenir sera -1. La vitesse moyenne sera donc exprimée comme suit:

v_{moy} = 10,0 m s^{-1}

et non

v_{moy} = 9,9601 m s^{-1}

Notez que nous avons arrondi au plus proche en fonction du nombre de chiffres significatifs dictés par l'incertitude. Dans ce cas nous avons utilisé trois chiffres significatifs pour exprimer la vitesse moyenne.

Ainsi le résultats sera présenté de la manière suivante:

v_{moy} = 10,0 \pm 0,2 m s^{-1}

3.  Les unités de l'astrophysique

3.1  L'Unité Astronomique (UA)

L'unité astronomique correspond approximativement à la distance Terre-Soleil. L'unité astronimique a été définie égale à 149,597,870,700 m.

3.2  L'Année-Lumière (AL)

L'année-lumière est la distance que parcours la lumière en une année julienne (365.25 jours de 86400 secondes). L'année-lumière correspond exactement à 9460730472580800 m. C'est une distance considérable qui correspond environ à 742 millions de fois la circonférence terrestre moyenne!

3.3  Le parsec (pc)

Le parsec est généralement utilisé en astrophysique pour mesurer les distances interstellaires ou extragalactiques. Le parsec vaut approximativement 3.09×1013 km, soit 3.26 année-lumière. Un objet situé à 1 pc du Soleil aura une parallaxe de 1 seconde d'arc. Cette définition est très utile pour la mesure des distances proches par la méthode de la paralaxe puisqu'il suffit de déterminer l'inverse de la parallaxe en seconde d'arc pour trouver la distance en parsec. À un pc de distance, l'orbite terrestre couvre un largeur apparente de une seconde d'arc.

4.  Analyse dimensionnelle

Ce système d'unité cohérent offre l'avantage qu'il permet de procéder aisément à des analyses dimentionnelles. L'analyse dimensionnelle consiste à insérer les unités au lieu des valeurs dans une équation. Ce genre d'analyse est particulièrement utile pour vérifié si un résultat théorique tient la route en terme d'unités. Si tel n'est pas le cas, il faut en déduire qu'une erreur est survenue lors du développement théorique.

Exemple:


La vitesse verticale d'un corps en chute libre sans frottement à partir d'une hauteur initiale h est donnée par

v=\sqrt{2 g h}

Si nous remplaçons chacune de variables pas ses unités, nous pouvons vérifier si l'équation est cohérente du point de vue des unités.

[\frac{m}{s}] =\sqrt{[\frac{{m}}{s^2}] [{m}]} = \frac{{[m]}}{[s]}

Notez que le 2 est un nombre pur sans dimensions (sans unités).

5.  Les ordres de grandeurs

À l'instar de l'analyse dimensionnelle, le calcul d'ordre de grandeur constitue un puissant outil de vérification qui permet de dépister d'éventuelle erreurs soit dans le développement théorique ou dans l'application numérique.

Cette méthode comporte deux éléments importants:

  • des définitions ou équations simpliste pour résoudre grossièrement le problème
  • un estimé très grossier (une puissance de 10) des variable présentes dans ces équations

Pour bien illustrer cette méthode voici deux exemples simples:

Exemple 1:


Supposons que l'on désire déterminer la vitesse de croisière d'un avion de ligne. La méthode exacte impliquera une savant calcul d'aérodynamique de l'engin couplé à une résolution de la poussée produite par les réacteurs. Il est toutefois possible d'arriver à un estimé de cette vitesse en se servant de la définition de la vitesse moyenne et d'un estimé de ces variable que nous ferons à partir de notre expérience de vie.

La vitesse moyenne est par définition donnée par

v_{moy}= \frac {d} {t}

d est la distance parcourue et t, le temps requis pour parcourir cette distance.

La distance estimée sera choisie parmi les puissances de 10. La question est: À quelle puissance de 10 d devrait se rapprocher le plus. C'est un peu comme si nous avions à faire un choix de réponse parmi les valeurs suivantes en km {..., 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...}. Comme le rayon de la Terre est approximativement de 6000 km et que sa circonférence est donc approximativement de 36000 km nous pouvons estimer la distance Montréal-Paris à 10000 km (plus proche puissance de 10). De même le temps typique pour parcourir le trajet Montréal-Paris est de 6 heures. Nous choisirons donc t parmi les valeurs suivantes en {..., 6 min., 1 h, 10 h, 100 h, ...}. Le choix sera évidemment porté vers 10 h!

La vitesse estimée à un facteur 10 près est donc

v_{moy} \approx \frac {10000 km} {10 h} = 1000 \frac{km}{h}

Exemple 2:


Nous désirons estimer la volume d'eau contenu dans le lac Memphrémagog en Estrie, Québec. Pour ce faire nous assimilerons le volume du lac a celui d'un prisme rectangulaire. Le volume d'un tel prisme est donné par:

V = longueur \times largeur \times profondeur

Encore une fois nous estimerons ces trois dimensions à un facteur 10 près. Nous ferons le calcul en m. Ce lac est fait en longueur et se rend jusqu'aux États Unis à partir de Magog. Cette distance est clairement plus grande que 10 km et plus petite que 1000 km. Nous retiendrons donc 100 km (100000 m). Pour sa largeur elle est forcément plus petite que la longueur, nous opterons pour 1 km. Enfin il est reconnu que le lac est très profond à certains endroits mais une profondeur moyenne de 100 m semble surestimée (la profondeur maximale est de l'ordre de 100 m). Nous choisirons donc 10 m.

Le volume estimé est donc

V = 100000 m \times 1000 m \times 10 m = 10^{9} m^3 = 1 {km}^3

Wikipedia donne 1.7 km3


<Page précédente<>Page suivante>^Table des matières^<<Chapitre précédant<<>>Chapitre suivant>>

GlossyBlue theme adapté par David Gilbert et Martin Aubé
Powered by PmWiki