L'astrophysique au collégial - Martin Aubé et François Gaudreau 2012


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Les lois de Kepler

Johannes Kepler, à l'étude des données précises de Tycho Brahe sur la position des planètes dans le ciel, à énoncé trois lois sur le mouvement des planètes. À l'époque de Kepler (début XVIIe siècle), ces lois étaient empiriques. C'est à dire qu'elles sont en accord avec les observations, mais elles n'ont pas d'explications, pas de théories sous-jacentes. Newton publie sa théorie de la gravitation universelle plus de 60 ans plus tard et parvient au passage à démontrer les trois lois de Kepler. Ainsi, ces lois sont maintenant des loi dérivées de la loi de la gravitation et non plus des lois empiriques. On retrouve ici une voie de développement de la science qui se répète souvent dans l'histoire (mais pas systématiquement) : des lois empiriques qu'on parvient plus tard à démontrer à l'aide d'une théorie plus fondamentale.

Les documents suivants [1] et [2] montrent une démonstration complète des trois lois de Kepler par des méthodes différentes. Le premier utilise abondamment le calcul différentiel alors que le second passe par des méthodes très géométriques.

Première loi de Kepler

La première loi de Kepler décrit la trajectoire des planètes autour du soleil. Selon Kepler, ces dernières tournent autour du Soleil en suivant des trajectoires elliptiques et le Soleil est placé à l'un des foyers de cette ellipse.

L'énoncé n'est pas entièrement correct, car le Soleil n'est pas tout à fait placé à l'un des foyers, mais c'est plus précisément le centre de gravité des deux astres, Soleil et planète concernée qui occupe le foyer. Pratiquement, Ce centre de gravité est à l'intérieur du Soleil car il est beaucoup plus massif que les planètes. Seul le couple Soleil-Jupiter présente un centre de gravité qui s'éloigne significativement du centre du soleil.

Figure 2010a: Principaux paramètres d'une ellipse. Crédits: Wikimedia commons CC BY-SA 3.0

Sur la figure 2010a, le paramètre a représente le demi grand axe alors que b le demi petit axe. La grandeur c est quant à elle la distance focale. On définit l'excentricité e d'une ellipse comme étant la rapport:

e=\frac{c}{a}

Ainsi, un cercle possède une excentriticé de 0. La distance entre le foyer occupé par l'astre principal (comme le Soleil) et la plus proche extrémité de l'axe principal est nommé périhélie alors que la distance opposée, l'aphélie.

Deuxième loi de Kepler

Le vecteur joignant le Soleil et une planète balaye des aires égales pour des intervalles de temps égaux, peu importe la position de la planète le long de sa trajectoire elliptique.

La principale conséquence de cette loi est qu'une planète se déplace toujours le plus rapidement lorsqu'elle est le plus près du Soleil (au périhélie de sa trajectoire) alors qu'elle se déplace le plus lentement lorsqu'elle passe au point le plus éloigné du Soleil (aphélie). Comme les orbites des planètes sont des ellipses presque circulaires, cette modification de la vitesse n'est pas majeure. Par contre, la trajectoire des comètes est aussi soumise aux lois de Kepler, et ces dernières passent tout près du Soleil avec une vitesse beaucoup plus grande que celle observée pour la même comète au moment où elle est très loin du Soleil (à l'extérieur du système solaire)

Puisque la force gravitationnelle est radiale le moment cinétique est constant.

L = I \omega = c

ou

L = M r^2 \frac{d\theta}{dt}

Lorsque l'angle est petit la surface soustendu par un segment d'orbite est celle d'un triangle avec le côté opposé a d\theta égal à r d\theta et l'autre côté égal à r. Cette surface est donc A \sim \frac{1}{2} r^2 d\theta. En substituant dans l'équation de conservation de L ci-haut, on obtient:

2 M A = c dt

Autrement dit A est proportionnel au temps et donc des aires égales requierent des temps égaux pour être balayées.

On peut facilement démontrer que la 2e loi de Kepler peut s'exprimer comme suit:

v_1 r_1 = v_2 r_2 = constante

où v1 et r1 sont respectivement la vitesse et le rayon orbital à la position 1.

Troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler peut s'exprimer mathématiquement :

a^3= \frac{G (M_\odot + M)}{4\pi^2}T^2
.

Le carré de la période de révolution est proportionnel au cube du demi grand axe de l'ellipse. Dans le cas où la masse de la planète M est beaucoup plus petite que la masse centrale M_\odot, la constante de proportionnalité dépend essentiellement de la masse du corps central (le Soleil dans le cas des planètes, ou la Terre dans le cas de la Lune), on remarque que la mesure de la période de révolution combiné à la mesure du demi grand axe de la trajectoire permet facilement de déterminer cette masse. Dès qu'un corps céleste tourne autour d'un autre beaucoup plus massif, on peut obtenir de cette manière la masse du corps central.

Loi de la gravitation universelle

La formulation classique de la loi de la gravitation s'exprime comme suit:

\vec{F} = - \frac{G m_1 m_2}{r^3} \vec{r}

où m1 et m2 sont les masses des deux corps en interaction et r est la distance qui les séparent.

En intégrant cette équation selon r, on obtiens l'énergie potentielle soit:

E_p = - \frac{G m_1 m_2}{r}

Détermination des masses

Les masses sont déterminées à partir de l'étude du mouvement des astres (voir la troisième loi de Kepler). On utilise la loi de gravitation et les lois du mouvement de Newton pour procéder à cette détermination. Au sein du système solaire, le problème de la détermination des masse est grandement simplifiée par le fait que le Soleil est beaucoup plus massif que les planètes. Dans le cas des étoiles, celà implique que nous sommes limités à l'étude des étoiles appartenant à des systèmes doubles. La détermination de la masse sur un échantillon d'étoiles a permis de mettre en évidence les relations masse-luminosité suivantes selon la gamme de masse considérée.

\frac{L}{L_\odot} \approx 0,23 \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{2,3} \qquad (M<0,43 M_\odot)
\frac{L}{L_\odot} =\left(\frac{M}{M_\odot}\right)^4 \qquad (0,43 M_\odot < M < 2 M_\odot)
\frac{L}{L_\odot} \approx 1,5 \left(\frac{M}{M_\odot}\right)^{3,5} \qquad (2 M_\odot < M < 20 M_\odot)
\frac{L}{L_\odot} \propto \left(\frac{M}{M_\odot}\right) \qquad (M > 20 M_\odot)

Ces relations s'appliquent seulement aux étoiles appartenant à la séquence principale. En admettant que ces relations demeurent valables pour toutes les étoiles de la séquence principale même si elle n'appartiennent pas à des systèmes binaires, elle peut constituer un outil empirique d'évaluation des masses.

La détermination de la masse des galaxie spirales est effectuée à partir des courbes de rotation radiales observées à l'aide de l'effet Doppler. Des observations récentes on montrées que pour des rayon relativement faibles, la vitesse de rotation augmente. Pour de plus grands rayons, la vitesse de rotation demeure constante et ce jusqu'aux limites observables de la galaxie (figure 2010b). Cette observation pose de sérieux problèmes car elle indique que la masse contenue à l'intérieur d'un rayon donné croit sans cesse. Pourtant, l'observation de la brillance de surface de la galaxie en fonction du rayon décroît. Il y aurait donc une très importante quantité de matière sombre non observée dans les galaxies. On estime que la masse manquante occupe plus de 90 % de la masse totale des galaxies. Un certain nombre de candidats ont été proposés pour combler ce manque. Une partie du problème peut être expliqué par le fait que la sensibilité des instruments d'observation ne permet de voir que les étoiles les plus brillantes. Les modèles d'évolution stellaires prédisent qu'une très forte proportion des étoiles feraient partie de ce groupe. Ces prédictions ne peuvent toutefois pas à ce jour être confirmées par les observations. On a aussi proposé que les neutrinos pourraient bien représenter une part importante de cette masse manquante. Malheureusement, les neutrinos sont très difficilement détectables.

Figure 2010b: Courbes de rotation d'une galaxie spirale typique : en A courbe prédite, en B courbe observée. La différence entre les deux courbes est attribuée à la matière noire. Crédits: Wikimedia commons CC BY-SA 3.0

La masse des galaxies elliptiques est, quant à elle, déterminée en considérant ces structures comme un gaz d'étoiles. Une mesure de la dispersion des vitesses stellaires, de la dimension de la galaxie, et l'application du théorème du viriel conduisent à cette détermination. Un estimé de la masse des galaxies peut aussi être obtenu de l'étude de leur mouvements relatifs à l'intérieur des amas de galaxies. On applique une fois de plus le théorème du viriel. On considère alors les galaxies comme les particules d'un gaz. La distribution en sous-groupes au sein d'un amas rend toutefois cette méthode douteuse.


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