L'astrophysique au collégial - Martin Aubé et François Gaudreau 2012


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Conséquences de la gravitation

Vitesse de libération

La vitesse de libération est le vitesse minimale pour qu'un objet puisse s'échapper définitivement de l'attraction gravitationnelle d'un corps céleste. Cette vitesse peut-être déduite à partir de la conservation de l'énergie en supposant que pour s'échapper, l'objet s'immobilise à l'infini (énergie potentielle nulle et vitesse nulle).

-\frac{G M_T m}{r} + \frac{m v^2}{2} = 0
\frac{G M_T m}{r} = \frac{m v^2}{2}
\frac{G M_T}{r} = \frac{v^2}{2}
v_L = \sqrt{2 \frac{G M_T}{r}}

Vitesse de satellisation

La vitesse de satellisation est le vitesse tangentielle minimale requise pour qu'un objet en demeure en orbite circulaire stable autour d'un astre. Si la vitesse initiale de l'objet dépasse cette vitesse mais demeure inférieure à la vitesse de libération, l'orbite sera de forme elliptique.

Lorsque l'orbite est circulaire et stable, la force gravitationnelle est égale à la force centripète.

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2} {r}
\frac{G M_T m}{r} = m v^2
v_S=\sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Assistance gravitationnelle et effet de fronde

L'assistance gravitationnelle consiste à utiliser la gravité et le mouvement d'un astre pour opérer un transfert de quantité de mouvement entre l'astre et un engin spatial. L'assistance gravitationnelle peut servir à propulser un engin spatial ou à le ralentir. Dans les deux cas la direction de la trajectoire de l'engin sera modifiée. Ce phénomène a été utilisé à plusieurs reprises par la NASA pour modifier la trajectoire d'une sonde spatiale tout en augmentant sa vitesse. C'est notamment le cas de Voyager 2 qui a frôlé Jupiter pour accélérer et aller dévier vers Saturne. Le même processus a été repris près de Saturne pour se rendre vers Uranus puis Neptune. Comme la sonde a accéléré elle a forcément ralenti très légèrement la vitesse orbitale des planètes rencontrées. Toutefois comme la masse de la sonde est négligeable face à celle des planètes, ce ralentissement est imperceptible.

L'assistance gravitationnelle est fort utile pour l'exploration spatiale car elle permet de réduire considérablement la quantité de carburant et donc la masse de l'engin spatial.

Atmosphère, sphéricité des planètes et hauteur de montagnes

La gravité étant une force radiale, la forme théorique d'une planète devrait être sprérique en tout logique. Toutefois certaines forces peuvent s'opposer à cette tendance lourde. Il y a dans un premier temps la rotation qui exerce une force fictive dite centrifuge dans le référentiel de la surface de la planète. Cet effet à tendence à aplatir les planètes selon leur axe polaire (axe de rotation). Les forces de marées peuvent aussi déformer une planète. Ceci survient lorsqu'un astre assez massif est situé à une distance relativement petite de la planète. Les forces tectoniques, provenant des mouvement fluides à l'intérieur de la planète, peuvent faire déroger la forme de la planète de celle d'une sphère parfaite (ou d'une ellipsoide du à la rotation). Ces forces introduisent des élément de rugosité (p. ex. des montagnes). Toutefois les écarts permis par rapport à la forme ellipsoide déterminée par la gravité, la rotation, et les marées sont limités par la pression qui s'exerce à la base de la montagne sous l'effet de son poids. Cette pression peut faire fondre la roche. Lorsqu'on atteint la pression maximale de la roche (P_{max}, le montagne ne peut s'élever davantage sous l'effet de la tectonique.

P_{max} > \rho g h

avec \rho, g, h respectivement la masse volumique de la planète, la constante de gravité à la surface et la hauteur de la montagne. De manière plus générale nous pouvons écrire cette équation en fonction du rayon et la masse de la planète en faisant l'approximation d'une planète sphérique de densité uniforme.

P_{max} > \frac{4}{3} \pi G \rho^2 R h

G est la constante de gravitation universelle et R le rayon de la planète. En réorganisant cette équation on peut trouve la hauteur maximale des montagnes.

h = \frac{3 P_{max}}{ 4 \pi G \rho^2 R}

P_{max} dépend de la température et de la composition de la roche. Par exemple, à 20 C et des roches composées de silicate (\rho=2600 kg/m^3), la pression maximale est de 6,5x108 Pa.

Le calcul pour le rayon de la Terre de ~6400 km (6400000 m), donne 54 km! Dans le cas de la Terre, le problème n'est pas aussi simple car seulement quelques km de son volume est solide (croûte terrestre) et bien entendu ni sa masse volumique ni sa composition ne sont constantes. Néanmoins ce calcul donne l'ordre de grandeur des hauteurs de montagnes attendues.

Effet de marées : synchronisation des périodes

La force de gravitation est proportionnelle au produit des masses en interactions et inversement proportionnelles au carré de la distance qui les séparent. Cette force décroît donc avec la distance entre les masses.

Cette décroissance en fonction de la distance est responsable du phénomène des marées. Considérons le système Terre-Lune. On peut montrer que chacun des astres décrit un orbite faiblement elliptique autour du centre de masse du système. En effet, comme la Terre ne possède pas une masse infinie, on ne peut la considérer au repos. Ici le centre de masse est situé à environ 4600 km du centre de la Terre sur une droite joignant la Terre et la Lune. Si on admet que l'orbite Terre-Lune peut être comparée à un orbite circulaire, le centre de la Terre décrit alors un cercle de 4600 km de rayon en une période de 27.3 jours. Cette rotation donne lieu à une force centrifuge qui possède, au centre de la Terre, la même grandeur que la force de gravitation entre les deux astres et qui est dirigée dans la direction opposée à la Lune. Les points de la surface terrestre dirigés vers la Lune décrivent un plus petit cercle. La force centrifuge est donc plus faible. D'autre part ces points sont plus rapprochés de la Lune. Ils subissent donc un force gravitationnelle supérieure. Ces deux variations de force ont pour effet d'alléger les poids situés dans cette région du globe. De même, le points de la surface terrestre situés sur le côté opposé à la Lune, subissent une force centrifuge légèrement supérieure et une force de gravitation légèrement inférieure. La combinaison de ces variations entraîne aussi une diminution effective des poids situés dans cette région. Pour les régions intermédiaires, les poids demeurent inchangés. Comme la Terre n'est pas encore solide, cette variation de force à la surface terrestre à pour effet de déformer le globe selon la forme d'une ellipsoïde dont les renflements sont alignés avec l'axe Terre-Lune. Comme la Terre tourne sur elle-même, ces renflements se déplacent par rapport au points géographiques. Cette rotation combinée à la translation de la Lune sur son orbite permet d'expliquer que deux marées hautes soient espacées de 12 h 35 min. La déformation est évidemment plus évidente sur l'eau des océans qui sont à l'état liquide. La déformation maximale de la surface de la mer peut atteindre 19.6 m (baie de Fundy, Canada) alors que la terre ferme ne se déforme que de quelques dizaines de centimètres.

Bien que la force exercée par le Soleil sur la Terre est de l'ordre de 100 x supérieure à la force exercée par la Lune sur la Terre, la contribution du soleil au marées terrestres est 2.2 fois plus faible. La distance Terre-Soleil étant beaucoup plus grande, les variations de force à la surface terrestres en sont amoindries. L'effet n'est toutefois pas négligeable, il permet d'expliquer les variations d'amplitudes de marées (grandes marées d'automne et de printemps) (figure 50).

Cette déformation cyclique de la surface terrestre s'accompagne d'une perte d'énergie sous forme de frottement. Cette perte d'énergie a pour effet de faire diminuer la vitesse de rotation de la Terre. Cette prédiction est maintenant confirmée par l'observation des anneaux de croissance des coraux fossiles vieux de 370 millions d'années. En ce temps, le jour terrestre durait 22 heures. Ce lent ralentissement conduit éventuellement à une situation de stabilité ou le renflement de la surface devient fixe par rapport aux points géographiques. Cette condition est déjà atteinte dans le cas de la Lune. C'est précisément ce qui explique qu'elle nous montre toujours la même face. Par conservation du moment cinétique on peut s'attendre à ce que le ralentissement de la vitesse de rotation terrestre ait des implications dans le mouvement du système Terre-Lune. On peut en effet montrer que le ralentissement de la vitesse de rotation terrestre à pour effet de faire augmenter la période de révolution de la Lune autour de la Terre et par conséquent, de faire augmenter la distance Terre-Lune. Les mesures actuelles permettent de déterminer que la Lune s'éloigne de la Terre à une vitesse de 3 cm par année.

Lobe de Roche et points de Lagrange

Les points de Lagrange sont des positions fixes par rapport à l'axe liant deux astres en orbite où il est possible de conférer une vitesse initiale à une petite masse de sorte que cette dernière tourne simultanément avec les deux astres. Autrement dit un objet placé à un point de Lagrange qui a la bonne vitesse initiale (grandeur et orientation). Toutera avec les deux axes comme s'il était fixé de façon rigide à ces deux axes. Il existe 5 points de Lagrange notés L1, L2, L3, L4, et L5. Les points de Lagrange L1, L2 et L3 sont positionnés sur l'axe passant par les deux astres L1 étant situé entre les deux astres mais plus proche du plus massif. Ces trois points sont stables dans la direction perpendiculaire à l'axe passant pas les astres. En d'autres termes si on les déplacent perpendiculairement à l'axe, ils se mettont à osciller autour du point de Lagrange. Il y a par contre instabilité dans le sens de l'axe. Pour les point L4 et L5 , il y a instabilité dans toutes les directions. Ces points sont situés latéralement à l'axe et forment un triangle équilatéral dont deux des arêtes sont sur les astres et l'autre sur le point de Lagrange. Les points L4 et L5 ne dépendent pas des masses relatives des astres alors que c'est le cas pour les trois autres points. Le point L1 est un endroit privilégié pour installer des observatoires solaires car ils sont à une distance constante par rapport au Soleil.

(a) (b) Figure ?: (a) Représentation des points de Lagrange avec des flèches indiquant la direction de la force lors d'un petit déplacement par rapport au point. (b) Position relative des points de Lagrange. Crédits: (a) NASA CC BY 3.0 (b) Debiansid CC BY-SA 4.0

Le lobes de Roche est une surface équipotentielle dans un référentiel tournant de deux astres en orbite mutuelle. Le lobe de Roche a une forme de «8» en trois dimensions. Chaque astre est à l'intérieur d'une des sections du «8». Le point de contact des deux sections est le point de Lagrange L1. Lorsqu'un des deux astres est une étoile qui se transforme en géante rouge, il arrive que la surface de l'étoile croise le lobe de Roche en au moins un point. La masse de la géante rouge est alors en quelque sorte aspirée vers l'autre étoile à partir de ce ou ces points d'intersection.

La résonance orbitale (divisions dans les anneaux de Saturne)

Les résonnances orbitales surviennent dans des systèmes à 3 corps avec un astre central de masse beaucoup plus considérable. Dans un tel cas, le second astre en importance possède une période orbitale déterminée par la masse de l'astre principal et à sa distace de ce dernier. Lorsqu'on tente de placer un troisième corps de petite masse en orbite autour de l'astre pricipal il arrive à certains endroits que la période orbitale de ce dernier soit un multiple ou une fraction entière de la période orbitale du second astre. Lorsque ceci arrive, le deuxième astre exerce une perturbation cyclique sur le 3e astre qui finit pas avoir un effet cumulatif (résonnance) ayant pour finalité l'éjection du 3e astre de son orbite. Ce phénomène peut être observé autour de Saturne. Il permet d'expliquer les divisions dans les anneaux de Saturne.

Figure ?: Divisions dans les anneaux de Saturne. Crédits: NASA/JPL/Space Science Institute


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